Родился 28 (16 ст. ст.) марта 1824 г. в с. Померанье Новгородской губернии в семье полковника Петра Гавриловича Боголюбова и воспитанницы Смольного монастыря, дочери А. Н. Радищева Феклы Александровны. Окончив Морской кадетский корпус, служил на флоте. Службу морского офицера сочетал с занятиями рисованием. Получив одобрение президента Академии художеств, твердо решил стать художником. В 1860-е гг. художественные полотна А. П. Боголюбова завоевали всеобщее признание. В 1863, 1866 и 1869 гг. он совершил вместе со своим братом Н. П. Боголюбовым поездки по Волге от Твери до Астрахани. Целью путешествия было составление путеводителя по Волге. Идею о создании общедоступного музея в провинции Боголюбов вынашивал многие годы. Алексей Петрович выбрал Саратов, в память о своем деде, философе и просветителе А. Н. Радищеве. На предметах своей коллекции, которую он собирал для будущего музея, ставил пометку РМ - Радищевский музей. В 1883-1885 гг. было построено здание Радищевского музея по проекту петербургского архитектора И. В. Штрома. 29 июня (ст. ст.) 1885 г. состоялось торжественное открытие музея (ныне Саратовский государственный художественный музей имени А. Н. Радищева). Основу музейной коллекции составлял дар от А. П. Боголюбова - богатейшее собрание произведений живописи, графики и скульптуры. Имя А. П. Боголюбова присвоено рисовальной школе в Саратове (ныне Саратовское художественное училище им. А. П. Боголюбова).
